Programa de milhagem

Olhando no Google Analytics, eu descobri que alguém chegou aqui no blog procurando por "transformar kilometros em arquivo binarios". Se você é essa pessoa, desculpe, mas eu não entendi sua dúvida. Se você não é essa pessoa, puxe uma cadeira pra ver como até uma pergunta sem sentido pode ser desenvolvida num tema interessante :)

Uma coisa que me incomoda toda vez que venho pra Califórnia é ter que lidar com milhas e libras. Eu cresci com o sistema métrico: se você me disser que a distância de São Paulo pra Florianópolis é de 700km, eu sei o que isso significa. Agora, se você me disser que a distância de San Francisco pra Mountain View é de 100 milhas, minha intuição falha, e eu vou precisar converter pra km pra poder ter noção da distância.

Como esperado, converter mentalmente de milhas pra km é algo que faço todo o tempo por aqui. Existem várias maneiras de converter de cabeça, mas a filosofia Ricbit dita que, de várias maneiras equivalentes, o correto é escolher a mais bizarra! Sendo assim, vou mostrar a conversão utilizando números de Fibonacci.

Todo mundo conhece os números de Fibonacci, eles estão em todo lugar. Em minha época de estudante, uma das minhas diversões secretas era entrar escondido no andar superior da biblioteca do IME só pra ler a Fibonacci Quartely. Os leitores assíduos da revista conhecem um monte de fatos curiosos sobre os Fibonacci, e eu vou usar dois deles aqui.

O primeiro é que os números da seqüência de Fibonacci podem ser calculados diretamente, sem precisar fazer toda a recursão F(n+2)=F(n+1)+F(n). Pra isso, basta calcular qual o inteiro mais próximo da expressão abaixo:




Na expressão acima, o phi é a conhecida razão áurea. A demostração dessa fórmula é elementar e fácil de encontrar na web.

O segundo é que qualquer número pode ser escrito como uma soma de números distintos de Fibonacci. Por exemplo, 100 pode escrito como 89+8+3. Daí, se você enfileirar os números de Fibonacci, e atribuir a cada número 1 se ele é usado na soma, e 0 se não é, você pode atribuir a qualquer inteiro uma string de zeros e uns que funciona como uma espécie de base binária alternativa (o povo chama isso de base de Fibonacci).

Fazendo o processo com o número 100, chegamos em 10000101000. Essa base tem algumas propriedades curiosas, por exemplo, ela não é bijetora (de fato, você pode escrever 100 de outras maneiras, como 1100101000). Uma base numérica que tem representação múltipla tem utilidades bastante curiosas em design de circuitos elétricos (mas isso é uma história pra outro dia :).

Além disso, cada número possui pelo menos uma representação onde não há nenhuma seqüência com dois uns consecutivos (pela própria definição de Fibonacci, se houver dois uns em algum ponto, você pode apagá-los e trocar por um único 1 na posição seguinte). Esse fato é explorado em alguns tipos de sinalização, para fazer detecção de erro: se você receber dois uns seguidos, certamente recebeu um erro.

Mas qual a relação disso com milhas e quilômetros? É simples, para converter de milhas para km, basta fazer um shift de Fibonacci!

Uma milha equivale a 1.609344 km. A razão áurea é 1.61803399. Os dois números, apesar de não serem relacionados, são muito parecidos, e esse é o truque que vamos usar pra converter. Na base binária tradicional, um shift para a esquerda é equivalente a multiplicar por dois; na base de Fibonacci, um shift para a esquerda equivale a multiplicar pela razão áurea. Então, se você tiver um valor em milhas na base de Fibonacci, um shift irá transformar o valor para o equivalente em quilômetros.

Vamos conferir: 100 é 10000101000. Com um zero extra no final, fica 100001010000, que é 144+13+5=162. Se, ao invés disso, você converter diretamente, teria 160.9km, ou seja, o método realmente aproxima muito bem a conversão! O gráfico abaixo mostra a porcentagem do erro do método em relação ao ideal, e mais abaixo está o programa que converte a milhagem para quilometragem e gera o gráfico:

Script que plota o gráfico acima, em python

Como pode ser visto, o método esquenta bem rápido, pra distâncias superiores a 10 milhas o erro é inferior a 5%, e acima disso praticamente desaparece. Em comparação, o método naive de aproximar por 1.5 (multiplicar de cabeça por 3 e dividir por 2), tem um erro constante de mais ou menos 8%.