Aproximações

Ao longo da vida, encontramos aproximações a todo momento. Na escola, a gravidade é aproximadamente 10 m/s², e a velocidade da luz é aproximadamente 3x10⁸ m/s. Segundo a Bíblia, pi é aproximadamente três (1 Reis 7:23). Mas a minha aproximação predileta é uma que os computeiros usam a todo momento: infinito é aproximadamente oito!

De fato, essa aproximação é o que permite aos computadores trabalhar com números negativos, através do complemento de dois. Lembrando a regra, para calcular o oposto de um número qualquer, basta inverter os bits e somar um. Vamos ver na prática como isso funciona, calculando o oposto de 5.

Cinco em binário é 101b, e pode ser escrito também como uma soma de potências de dois: 1+4. Para inverter os bits de 5, precisamos lembrar que há infinitos zeros na frente do 101b, então o inverso vai ter infinitas potências de dois:

 x   = 1     + 4
~x   =     2     + 8 + 16 + 32 + ...
~x+1 = 1 + 2     + 8 + 16 + 32 + ...

Esse valor, y=~x+1, não se parece com -5. Mas as coisas ficam mais claras se você multiplicar y por dois, parcela a parcela, ...

 y   = 1 + 2     + 8 + 16 + 32 + ...
2y   =     2 + 4     + 16 + 32 + ...

... e depois subtrair esse valor do original:

2y   =      2 + 4     + 16 + 32 + ...
 y   =  1 + 2     + 8 + 16 + 32 + ...
2y-y = -1     + 4 - 8
 y   = -5

Todos as parcelas maiores que 16 cancelam, e do lado de cá, 2y menos y é o próprio y. Então y=-5, QED. Quando calculamos complementos de dois no computador, usualmente fazemos as contas apenas em um byte, mas, no fundo, é a mesma coisa: ao invés de fazer a conta com infinitas parcelas, você aproxima o valor por apenas 8 parcelas.

Seu professor de Cálculo 4 certamente deve ter te avisado dos horrores de manipular seqüências divergentes, que invariavelmente levam a paradoxos (como somar apenas parcelas positivas e obter um resultado negativo). No entanto, às vezes até os paradoxos têm utilidades práticas :)

Python one-liners são Turing-complete

Quem programa em C há décadas normalmente não se dá conta de quão ilegíveis são as expressões mais comuns da linguagem. Quando eu era um garoto recém-saído do BASIC, eu lembro de ter me assustado com coisas básicas como for(i=0; i<10; i++). Mas isso é idiossincrasia do C, outras linguagens não sofrem disso, como o Python.

Python foi planejada para ser legível. Os programadores mais experientes citam o Zen of Python, que dita que "belo é melhor que feio", e "legibilidade conta". De fato, é até difícil escrever código ilegível em Python. Mas é claro que difícil não é impossível, e se o dr. Ian Malcolm fosse um programador, ele certamente diria que "obfuscation finds a way."

Aconteceu comigo semana passada: eu olhava alguns exercícios sobre listas para iniciantes, e notei que, embora eles fossem de fato muito simples, ficariam bem mais divertidos se eu tentasse resolvê-los usando apenas uma linha em cada. Abusando de programação funcional, eu consegui fazer os dez primeiros assim:

Soluções dos exercícios em uma linha de Python cada.

Depois de brincar algum tempo com one-liners, a pergunta que naturalmente se apresenta é: será que é possível fazer qualquer programa em uma linha de Python? A dificuldade vem do fato de que o Python diferencia statements de expressions, e você só pode ter um statement por linha. Em Python, statements incluem print, if, while, for e atribuições, ou seja, um one-liner só pode usar um único desses.

Então, colocando a pergunta de outra maneira: é possível demonstrar que um programa em Python com um único statement é Turing-complete? Existem dois caminhos pra demonstrar isso, o primeiro é construir um emulador para uma máquina de Turing universal em uma linha, o segundo é mostrar que é possível converter para uma linha de Python todos os programas possíveis de um sistema que seja Turing-complete, como o cálculo lambda, ou os tag-systems.

Eu resolvi abordar o problema com a filosofia Ricbit: se existem várias maneiras equivalentes de fazer alguma coisa, escolha a mais bizarra! Assim sendo, vou demonstrar que Python one-liners são Turing-complete através de redução ao Brainfuck (cuja universalidade já foi demonstrada várias vezes).

Vamos lá então: o estado de um programa em Brainfuck pode descrito em qualquer momento por uma quádrupla (mem, p, stdin, stdout), que são respectivamente a memória, o ponteiro, a entrada e saída. Vou implementar cada operação do Brainfuck como funções que recebem quádruplas e retornam quádruplas, descrevendo assim a transição de estado.

A operação mais simples é o ponto, que só adiciona o elemento apontado na saída:

dot = lambda mem, p, stdin, stdout: (mem, p, stdin, stdout+[mem[p]])

Para implementar a vírgula, eu preciso primeiro de alguma maneira de modificar um único elemento de uma lista. Se eu pudesse usar atribuições, bastaria algo do tipo mem[p]=value, mas como atribuições em Python são statements, preciso de uma função auxiliar. Além disso, eu preciso fazer o pop() do valor frontal da lista que guarda o stdin, o que me leva à outra auxiliar:

change = lambda mem, pos, value: [value if i==pos else a for i, a in enumerate(mem)]

get = lambda s: (s[0], s[1:]) if len(s) else (0,[])

comma = lambda mem, p, stdin, stdout: (lambda now, next: (change(mem, p, now), p, next, stdout))(*get(stdin))

Tendo a função change em mãos, fazer os comandos de mais e menos é simples:

plus = lambda mem, p, stdin, stdout: (change(mem, p, mem[p]+1), p, stdin, stdout)

minus = lambda mem, p, stdin, stdout: (change(mem, p, mem[p]-1), p, stdin, stdout)

Os comandos de esquerda e direita precisam tomar o cuidado de aumentar os limites da memória se necessário, a universalidade do Brainfuck requer uma fita infinita para os dois lados:

left = lambda mem, p, stdin, stdout: ([0]+mem if not p else mem, 0 if not p else p-1, stdin, stdout)

right = lambda mem, p, stdin, stdout: (mem+[0] if p==len(mem)-1 else mem, p+1, stdin, stdout)

Agora chegamos na parte complicada, que é o operador de loop. Como for e while são statements, e lambdas recursivos precisam de uma atribuição (fat = lambda x: 1 if x<=1 else x*fat(x-1)), então a única saída é apelar pra lazy evaluation, que no Python é implementada no módulo itertools. (Incluir o módulo itertools poderia tornar o programa um two-liner, mas felizmente é possível importar um módulo usando uma expression ao invés de um statement: a função __import__).

A solução para o operador de loop é criar uma lista infinita contendo [x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ...], onde cada f é uma aplicação do conteúdo do loop. Depois, para executar o loop, basta iterar nesta lista infinita, procurando o primeiro elemento onde o elemento apontado pelo ponteiro seja nulo. Precisamos então de uma função que calcule f^n e uma que gere a lista infinita:

composite = lambda f, n: lambda x: reduce(lambda a, b: b(*a), [f]*n, x)

infinite = lambda f, x: itertools.imap(lambda n: composite(f, n)(x), itertools.count(0))

Depois, basta criar um predicado que avalie quando o loop deve parar, e pegar o primeiro elemento da lista onde o predicado é verdadeiro:

predicate = lambda mem, p, stdin, stdout: mem[p] != 0

getfirst = lambda it: [i for i in itertools.islice(it, 1)][0]

loop = lambda f: lambda *x: getfirst(itertools.dropwhile(lambda x: predicate(*x), infinite(f,x)))

Tendo todos os comandos, só precisamos de uma função extra para encadeá-los, e depois, só para o programa não ficar grande demais, um shortcut que executa strings diretamente em Brainfuck:

chain = lambda f: lambda *x: reduce(lambda y, g: g(*y), f, x)

bf = {'+':plus, '-':minus, '.':dot, ',':comma, '<':left, '>':right}

run = lambda f: chain([bf[i] for i in f])

Feito! Agora é só fazer um script para parsear o Brainfuck original e gerar o one-liner. A título de ilustração, esse é o Hello World gerado pelo script:

print ''.join(chr(i) for i in ( (lambda itertools: (lambda change, get, chain, composite: (lambda comma, dot, plus, minus, left, right, infinite, predicate, getfirst: (lambda bf, loop: (lambda run: (chain ([run ("++++++++++"), loop (run ("<+++++++<" "++++++++++<" "+++<+>>>>-")), run ("<++.<" "+.+++++++..+++." "<++.>>" "+++++++++++++++" ".<.+++." "------.--------" ".<+.<.")])) ([0],0,[],[]) )( (lambda f: chain([bf[i] for i in f])) ) )( ({'+':plus, '-':minus, '.':dot, ',':comma, '<':left, '>':right}), (lambda f: lambda *x: getfirst(itertools.dropwhile(lambda x: predicate(*x), infinite(f,x)))) ) )( (lambda mem,p,stdin,stdout: (lambda now,next: (change(mem,p,now),p,next,stdout))(*get(stdin))), (lambda mem,p,stdin,stdout: (mem,p,stdin,stdout+[mem[p]])), (lambda mem,p,stdin,stdout: (change(mem,p,mem[p]+1),p,stdin,stdout)), (lambda mem,p,stdin,stdout: (change(mem,p,mem[p]-1),p,stdin,stdout)), (lambda mem,p,stdin,stdout: ([0]+mem if not p else mem, 0 if not p else p-1, stdin, stdout)), (lambda mem,p,stdin,stdout: (mem+[0] if p==len(mem)-1 else mem, p+1, stdin, stdout)), (lambda f,x: itertools.imap(lambda n: composite(f,n)(x), itertools.count(0))), (lambda mem,p,stdin,stdout: mem[p] != 0), (lambda it: [i for i in itertools.islice(it, 1)][0]) ) )( (lambda mem,pos,value: [value if i==pos else a for i,a in enumerate(mem)]), (lambda s: (s[0],s[1:]) if len(s) else (0,[])), (lambda f: lambda *x: reduce(lambda y,g: g(*y), f, x)), (lambda f,n: lambda x: reduce(lambda a,b:b(*a),[f]*n,x)) ) )(__import__("itertools")) )[3])

QED, em uma única linha, como prometido! (Eu não prometi que seria uma linha pequena :)

O script que converte de Brainfuck para Python one-liner está abaixo, para quem quiser brincar:

Conversor para Python one-liner.

Como nota final, vale lembrar que só porque você pode escrever qualquer coisa em uma linha, não significa que você deve fazer isso. Legibilidade conta :)

Ao Infinito e Além

O que há de comum entre Cantor, Gödel e Turing? Pelo menos duas coisas, e a primeira delas é que os três tentaram expandir os limites da matemática.

Cantor, por exemplo, queria contar até infinito. Essa é uma tarefa bem difícil: todos os que tentaram, cansaram antes de concluir! Mas o que o Cantor percebeu foi que, embora seja difícil contar diretamente, você pode contar até infinito indiretamente, desde que você saiba qual o significado real de "contar" alguma coisa.

O que significa, por exemplo, que você tem quatro maçãs? Na interpretação de Cantor, isso significa que você pode criar uma bijeção do seu conjunto de maçãs com um subconjunto dos números naturais, como na figura abaixo:

Se você criou uma bijeção do seu conjunto com o conjunto dos quatro primeiros naturais, então você efetivamente contou seu conjunto e concluiu que ele tem quatro elementos. O truque do Cantor foi perceber que você podia estender esse conceito, e criar bijeções com todos os naturais, ao invés de só algum subconjunto. E isso leva a resultados que são bem pouco intuitivos!

Por exemplo, o conjunto dos números pares. A intuição do iniciante é que esse conjunto tem a metade dos elementos dos naturais. Mas não é verdade, porque você pode construir uma bijeção entre os dois:


Para cada natural você tem um par correspondente, para cada par você tem um natural. Pelo raciocínio do Cantor, então esses dois conjuntos tem o mesmo número de elementos, o que também mostra que, pelo menos quando você está lidando com o infinito, a parte pode ser igual ao todo.

Indo além, o Cantor também mostrou que os Números Racionais também são do mesmo tamanho dos Naturais. Quem quiser repetir a demonstração original dele, pode tentar fazer o problema CANTON do spoj, que pede para você criar a bijeção. Uma maneira alternativa é utilizar uma construção inventada pelo Gödel: a cada racional p/q, você associa o natural 2^p3^q, e pra transformar o natural de volta numa racional, você usa a fatoração única que o Teorema Fundamental da Aritmética te garante.

Quando um conjunto tem o mesmo tamanho dos naturais, diz-se que ele tem cardinalidade aleph-zero, ou ainda, que é um conjunto contável. Mas todos os conjuntos infinitos são contáveis? Não! O Cantor também mostrou que o conjunto dos Números Reais é maior que qualquer conjunto contável dado, utilizando um método chamado argumento diagonal. Ou seja, os números reais são um tipo de infinito maior que o infinito dos naturais!

Agora, se os racionais são contáveis, e os reais não são, fica claro que os culpados por existir um infinito maior que o outro são os irracionais. Mas quais irracionais? Existem vários tipos deles também. Por exemplo, alguns irracionais podem ser construídos como raízes de polinômios de coeficientes inteiros (diz-se que esses são irracionais algébricos). Um exemplo é a razão áurea, que é a maior raiz do polinômio x²-x-1.

Porém, os irracionais algébricos são contáveis também. Basta utilizar novamente o mesmo truque do Gödel, dessa vez você associa cada coeficiente do polinômio a um expoente de um número primo. Um polinômio como x²+2x+1, por exemplo, escreveria-se como 2¹*3²*5¹.

Ora, se os irracionais algébricos são contáveis, então o que torna os reais maiores que os naturais são os irracionais não-algébricos (ou transcendentes). Mas mesmo entre esses existem vários tipos. O número Pi, por exemplo: você não consegue construí-lo como uma raiz de um polinômio, mas pode aproximá-lo com um algoritmo computacional, com tanta precisão quanto se queira. Dos números que podem ser aproximados por algoritmos, diz-se que são números computáveis.

Surpreendentemente, os irracionais computáveis são contáveis também. A maneira simples de visualizar isso é da seguinte maneira: se existe um algoritmo que aproxima o número, então esse algoritmo pode ser implementado numa linguagem qualquer (como nos garante a tese de Church-Turing). Agora, imagine que você criou um binário que implementou esse algoritmo, e esse binário tem X bytes. Se você fizer um hexdump do binario e imprimi-lo, você vai ter na sua frente um número hexa de 2X dígitos (que é um número natural grandinho, mas ainda assim um natural).

Mas se os irracionais computáveis são contáveis, quem são os não-contáveis? Existem números que não podem ser calculados por algoritmos? A resposta é sim, e um desses números é a constante de Chaitin. A construção da constante é curiosa. Nós vimos que, a cada algoritmo possível, existe um natural associado. Calcule então a seguinte somatória: para cada algoritmo existente (cujo natural associado é n), se o algoritmo pára, você soma 2^-n, senão não soma nada. Ora, essa somatória não pode ser calculada por um algoritmo, porque o Teorema de Turing garante que você não pode construir um algoritmo que detecta se outro algoritmo pára. A constante de Chaitin, então, é um número não-computável.

Mas os irracionais não-computáveis ainda não são o segredo do infinito real. Eu não consigo construir um algoritmo que aproxima a constante de Chaitin, mas no parágrafo acima eu consegui descrever exatamente do que a constante se trata. Os números que eu consigo descrever são números definíveis, e, (surpresa), eles são contáveis também. O argumento é ainda mais simples, se eu posso escrever um arquivo texto que contenha a descrição do número, o hexdump desse arquivo também vai associar a descrição a um número natural.

Então, os números que fazem o infinito dos reais ser maior que o infinito dos naturais são os números que não podemos construir, não podemos aproximar e não podemos descrever, ou seja, nem dá pra pensar sobre eles!

Se a essa altura sua cabeça deu tilt, então deixe-me concluir qual é a segunda coisa em comum entre Cantor, Gödel e Turing: os três ficaram doidos. De fato, Cantor achava que era um mensageiro de Deus, e terminou a vida num hospício. Gödel ficou paranóico com comida contaminada, e só comia o que a mulher preparava (quando a mulher ficou doente e internada num hospital, ele literalmente morreu de fome). E o Turing ficou tão deprimido que se matou, comendo uma maçã envenenada.

Há quem diga que existe relação causal entre estudar o infinito e ficar doido. Se você é desse tipo, hum, então era melhor não ter lido esse post :)

(Esse post é dedicado ao prof. Henrique, in memorian, líder do nosso grupo de doidos, que se reunia toda sexta na USP para estudar matemática, computação e ciências cognitivas. Três vivas aos que estudam o infinito, e além!)